在我高二闲暇之余，偶然在b站的一篇专栏（来自帆雨动画）中发现了一个很有趣的问题，以一只二哈为引题，叫“二哈问题”，很好玩的名字，具体是这么描述的:
...
我问：“假期里你没有什么任务吗？”
他说：“有啊，就是出一个数学和物理结合起来的题目，没想好呢还，你有什么主意吗？”
这时，他的二哈正叼着个棒球跑了回来，放在主人跟前，等着再一次抛球。
我说：“求一下二哈轨迹不就行了嘛！”
“这忒简单了罢，不就直线么，送分也不能这么送的！”
“你先往前扔出去，等它捡到球了你就往左边跑。”
二哈叼起球后看见主人在奔跑，显得更欢快了，迅速跑向主人。
在奔跑过程中，它一直在调整方向，以保持始终朝着主人跑...
追及问题，不过变成二维了，那就很有意思了啊，当时就决定研究这个问题的结果。 无奈自己头脑不够，当时并不会熟练运用微积分思想，所以只能程序逼近计算，但是这一前提少不了假想：
不妨设想追击时间t和人狗速率差有关，且一定成反比，即：
\[a=\frac{k}{v_1-v_2}\]
以后施工。
二维轨迹
让我们回顾一下二哈问题：
一人一狗在同一位置（近似为一点）人手里有棒球，向前投出，棒球落地狗去捡，当狗捡到棒球瞬间（记当前人狗距离为L，随后人开始垂直于初始点到狗的连线跑（也是往正左或正右跑）速度为 \(v_2\) 不变，狗立即追人，速率为 \(v_1\)，方向时刻指向人（即人狗连线在狗轨迹切线上），且\(\vert v_1\vert>\vert v_2\vert\)，试问：
（1）狗追上人的时间 \(t\)；
（2）狗的轨迹方程。
我们来计算第二问： 涉及到狗的轨迹方程，我们不妨设狗在某一时刻的坐标为 \((x,y)\)，因为任意时刻人都在狗在这一点对其轨迹方程的切线上，故我们不难得出人的位置为 \((0,y-xy')\)。 我们从题目中可以知道\(\vert v_1\vert>\vert v_2\vert\)，故我们设：
\[v_1=nv_2\quad (n>1)\]
因为速率不变，故路程也应满足：
\[s_1=ns_2\quad (n>1)\]
引入弧微分 \(\mathrm{d}s\) ，对于狗走过的路程有：
\[\int_L^x\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}\mathrm{d}x=n(y-xy')\]
两侧对 \(x\) 求导得：
\[\sqrt{1+(y')^2}=nxy''\]
令 \(Y=y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) ，分离变量整理得：
\[\frac{\mathrm{d}Y}{\sqrt{1+Y^2}}=\frac{\mathrm{d}x}{nx}\]
两侧积分得：
\[\ln\vert{Y+\sqrt{1+Y^2}}\vert=\frac 1n\ln\vert x\vert\]
第一步整理，去绝对值： 我们先考虑图中的情况，所以原式可化为：
\[\ln(Y+\sqrt{1+Y^2})=\frac 1n\ln x\]
进一步化为：
\[Y+\sqrt{1+Y^2}=x^{\frac 1n}\]
最终得到：
\[Y=\pm\left(\frac{C_1}2x^{\frac 1n}-\frac 1{2C_1x^{\frac 1n}}\right)\]
我们取其中的正值，即：
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{C_1}2 x^{\frac 1n}-\frac 1{2C_1x^{\frac 1n}}\]
当 \(y=0\) 时，有 \(x=L\) ， \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0\) ，带入上式可得出：
\[ \frac{C_1}2 L^{\frac 1n}=\frac 1{2C_1L^{\frac 1n}}\]
即：
\[ C_1=L^{-\frac 1n}\]
最终带入原式得：
\[y=\frac{L^{-\frac 1n}}2\left(\frac n{n+1}\right)x^{\frac{n+1}n}-\frac 1{2L^{-\frac 1n}}\left(\frac n{n-1}\right)x^{\frac{n-1}n}+C_2\]
因为根据初值条件求解 \(C_2\) 的结果很麻烦，故这里采取定义并直接带入：
当 \(y=0\)，\(x=L\) 时，令
\[F(x)=\frac{L^{-\frac 1n}}2\left(\frac n{n+1}\right)x^{\frac{n+1}n}-\frac 1{2L^{-\frac 1n}}\left(\frac n{n-1}\right)x^{\frac{n-1}n}\]
，则有：
\[C_2=-F(b)\]
故最终的轨迹方程可以表示为：
\[\begin{cases} F(x)=\frac{L^{-\frac 1n}}2\left(\frac n{n+1}\right)x^{\frac{n+1}n}-\frac 1{2L^{-\frac 1n}}\left(\frac n{n-1}\right)x^{\frac{n-1}n}\\ \\ y=F(x)-F(b)\\ \end{cases}\\\quad (n>1)\]
三维轨迹
先不写。